ベクトルは、大きさと向きを持つ量を表す考え方です。普通の数のように大きさだけを見るのではなく、「どちら向きにどれだけ」を一つにします。高校数学では矢印、成分、内積など複数の表現を行き来しながら扱います。
スカラーとの違い
温度30℃や質量5kgのように、大きさだけで表せる量をスカラーとして考えます。
一方、東へ3m移動、北向きに5Nの力、のように方向が重要な量はベクトルで表すと便利です。
同じ「3」でも、方向が違えば別のベクトルです。
矢印で表す
点Aから点Bへのベクトルを
のように表します。
矢印の長さが大きさ、矢印の向きが方向を表します。
図を平行移動しても、向きと長さが同じなら同じベクトルとして扱えます。
始点の場所そのものではなく、移動の内容を見る考えです。
ベクトルの和は「続けて移動する」
東へ3、北へ4進むとします。
最初の移動ベクトルと次の移動ベクトルをつなげると、出発点から到着点へのベクトルが和です。
成分で
となります。
矢印の足し算と成分の足し算は、同じ移動を別の表現で見ています。
引き算は「差」ではなく向きも持つ
は、
と考えます。
-b⃗ は大きさが同じで向きが反対のベクトルです。
数の引き算と同じ記号でも、図では反対向きの矢印を足す操作になります。
成分表示は座標で矢印を表す
ベクトル (2,3) なら、x方向に2、y方向に3の成分を持ちます。
大きさは
です。
三平方の定理を使って、成分から矢印の長さへ変換できます。
実数倍すると向きや長さが変わる
は、a⃗ と同じ向きで大きさが2倍です。
は大きさが同じで反対向きです。
実数倍を図で考えると、平行なベクトルの関係を理解しやすくなります。
位置ベクトルは点の場所をベクトルで扱う
原点Oから点Aへの
を位置ベクトルとして扱えます。
A=(2,3)なら、位置ベクトルも成分(2,3)で表せます。
点とベクトルを同じものだと考えるのではなく、原点からその点への移動を使って位置を表していると理解します。
内分点は「重み付きの平均」に見える
点A、Bを一定比で内分する点Pの位置ベクトルは、AとBの位置ベクトルを比に応じて組み合わせて表せます。
公式を覚えるだけでなく、PがA寄りならA側の重みがどうなるかを図で確認します。
係数を取り違えたとき、点が想定と反対側へ寄っていないかを検算できます。
内積は方向関係を見る道具
二つのベクトルの内積は、大きさと角度の関係を含みます。
特に内積が0なら、ゼロベクトルでない二つのベクトルが垂直になる場合があります。
「掛け算したら数が出る」だけでなく、角度・垂直条件へつながる量です。
例： (3,4) の大きさ
3-4-5の直角三角形です。
成分表示、図、三平方の定理が一つにつながります。
よくある誤り：点Aとベクトルaを同じものだと思う
点は位置、ベクトルは大きさと向きを持つ量です。
座標表示が似ているため混同しやすいですが、何を表している記号か確認します。
「A=(2,3)」と「a⃗=(2,3)」では役割が違います。
もう一つの誤り：ベクトルの大きさを成分の和にする
(3,4) の大きさを3+4=7とはしません。
直交座標での大きさは三平方の定理から5です。
「成分」と「大きさ」は別の表現です。
練習：図→成分→大きさを往復する
東へ6、北へ8のベクトルを考えます。
成分は(6,8)。
大きさは
次に(6,8)を見て、図へ戻します。
同じベクトルを矢印・成分・大きさの三表現で変換できるようにします。
次は「何を保存して表現を変えたか」を見る
矢印を成分へ変えても、向きと大きさという情報は失っていません。
図から式、式から図へ変換しながら、どの情報が同じか確認します。
ベクトルを公式の集まりとしてではなく、方向を持つ量を複数の表現で扱う言語として理解すると、図形・物理・空間の問題へつなげやすくなります。
平行・垂直の条件をベクトルで表す
二つのベクトルが平行なら、一方が他方の実数倍で表せることがあります。
たとえば (2,3) と (4,6) は後者が前者の2倍なので同じ向きです。
垂直なら、ゼロベクトルでない場合、内積が0になることを使えます。たとえば (1,2) と (2,-1) の内積は
です。
図で見える平行・垂直を式へ変換できると、座標図形の証明にも使えます。
零ベクトルも別に押さえる
大きさが0のベクトルを零ベクトルといいます。向きは通常のベクトルのようには定まりません。平行・垂直の条件を使うとき、零ベクトルを例外として確認する理由がここにあります。
参考資料
- 文部科学省「高等学校学習指導要領・解説」
