二次方程式
の解の公式は、
です。中3では、式だけを丸暗記するより、平方完成で解く手順を一般の係数へ広げると解の公式が出てくることを知っておくと、符号や分母を忘れたときに戻りやすくなります。
まずx²の係数を1にする
をaで割ります。
定数項を右へ移すと、
です。
数字の係数で平方完成するときと同じ準備です。
左辺を平方完成する
x2+px は、xの係数pの半分を使って
と変形できます。
ここでは p=b/a なので、
を作ります。
両辺へ同じ量を加える
の両辺へ b24a2 を加えると、
=
b2-4ac4a2
となります。
右辺は通分して一つの分数にまとめています。
平方根を取ってxを一人にする
平方した式を戻すときは、プラスとマイナスの両方を考えます。
=
±√(b2-4ac)2a
最後に b2a を右へ移すと、
となります。
±を忘れないことと、分母2aが分子全体にかかることが重要です。
なぜ分母が2aになるのか
平方完成では、xの係数 b/a の半分である b/(2a) を使います。
そのため、最後にxを一人にしたときも2aが分母に残ります。
「2aだけ暗記する」のではなく、平方完成で係数を半分にした結果だと見ると復元しやすくなります。
例題1：2x²+3x-2=0
a=2、b=3、c=-2を解の公式へ入れます。
ルートの中は、
なので、
したがって、
です。
解は元の式へ戻して確かめる
x=1/2なら、
です。
x=-2なら、
です。
二つとも元の式を満たします。公式を使った後ほど、代入して符号ミスを確認します。
例題2：x²+4x+1=0
√(12)=2√3 なので、
です。
因数分解しにくい式でも、解の公式なら同じ手順で進められます。
よくある誤り1：-bの符号を落とす
b=3なら、公式の最初は3ではなく-3です。
b=-5なら、-bは5になります。
係数を代入する前に、a・b・cを一行に書き出すと符号を確認しやすくなります。
よくある誤り2：分母をルートだけに付ける
正しい形は、
です。
分母2aは、-b±√… の全体にかかります。一本の分数線で書いてから数字を代入します。
よくある誤り3：±の片方だけで終える
平方根を取るとき、正の方だけを書いて一つの解を落とすことがあります。
二次方程式では二つの解を持つ場合があるので、±を残して二通り計算します。結果として同じ値になる場合もありますが、最初から片方を消さないようにします。
因数分解できるならそちらが速いこともある
なら、
と因数分解してx=2,3と求められます。
解の公式でも同じ答えになりますが、毎回いちばん長い方法を使う必要はありません。
解法を選ぶ順番
- 共通因数がないか
- 因数分解しやすくないか
- 平方の形が見えないか
- 解の公式を使うか
目的は解の公式を使うことではなく、二次方程式を正確に、できるだけ簡潔に解くことです。
復元練習は三段階で行う
公式を忘れたら、
- x²の係数を1にする
- xの係数の半分を使って平方完成する
- 平方根を取ってxを一人にする
と戻ります。
一般式の変形を丸暗記するより、この三段階と数字の二次方程式の平方完成を対応させてください。
次は「どの方法で解くか」まで判断する
同じ二次方程式でも、因数分解が速いもの、平方完成で見やすいもの、解の公式が安定するものがあります。
問題を見たら式の形を確認し、方法を選び、最後に元の式へ代入して検算します。
解の公式を覚える→使うだけでなく、平方完成から戻せる・別解法と選び分けられるところまでを目標にします。
参考資料
- 文部科学省「中学校学習指導要領・解説」
- 文部科学省「高等学校学習指導要領・解説」
