関数のグラフは、式を絵にしただけのものではありません。二つの量の対応関係を、式・表・グラフという別の表現で見せたものです。式から表、表から点、点からグラフへ変換できると、関数を「公式」ではなく「変化の関係」として理解できます。
関数は一方の値を決めると他方が決まる関係
中学校数学では、xの値を決めるとそれに対応してyの値が一つに決まる関係を関数として扱います。
たとえば
なら、x=0でy=1、x=1でy=3、x=2でy=5です。
式は、xとyの対応を短く書いた表現です。
表へすると「変化」が見える
y=2x+1 を表にすると、
| x | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| y | -1 | 1 | 3 | 5 |
xが1増えるとyが2増えることが分かります。
式の係数2が、表ではyの増え方として現れています。
表の組を座標として点にする
表の
x=0、y=1
は座標(0,1)です。
x=1、y=3なら(1,3)。
こうして表の一組ずつを座標平面へ点として置きます。
関数のグラフは、式を満たす(x,y)の組を図で表したものです。
一次関数では変化の割合が傾きになる
では、aが傾き、bがy切片です。
a=2なら、xが1増えるとyが2増える関係です。
b=1なら、x=0のときy=1なので、グラフはy軸の1を通ります。
式の文字とグラフ上の特徴を対応させます。
傾きは「右へ1進んだときの上下」
傾き3なら、右へ1進むと上へ3。
傾き-2なら、右へ1進むと下へ2です。
「数字が大きいほど急」とだけ覚えると、負の傾きで混乱します。
符号が上がる・下がる方向、絶対値が変化の急さと考えます。
例：y=-x+4
x=0でy=4なので(0,4)を通ります。
傾きは-1なので、右へ1進むと下へ1。
(1,3)、(2,2)、(3,1)、(4,0)を通ります。
表を全部作らなくても、切片と傾きから複数の点を作れます。
グラフから式を求める
直線が(0,2)を通り、右へ1進むと上へ3進むなら、y切片は2、傾きは3です。
したがって
と表せます。
図から数字を読むだけでなく、切片と変化の割合を式へ戻すことが重要です。
比例は一次関数の特別な形として見られる
比例
は、一次関数 y=ax+b でb=0の場合です。
そのためグラフは原点を通ります。
「比例のグラフ」と「一次関数のグラフ」を完全に別物として覚えず、包含関係で見るとつながります。
反比例は直線ではない
反比例
のグラフは直線になりません。
xが0では定義できないこと、xの符号によってグラフが複数の部分に分かれることを確認します。
「関数のグラフ＝全部直線」という誤解を避けます。
よくある誤り：点を結べばいつでも直線になる
データの点がいくつかあるからといって、必ず直線で結ぶわけではありません。
関数の種類や問題の条件を確認します。
一次関数なら直線ですが、二次関数や反比例では形が違います。
グラフの形は「点の描き方」ではなく、関数の関係によって決まります。
定義域があるとグラフの一部だけになる
たとえば「0秒から5秒までの移動」を表す関数なら、xに当たる時間は0から5の範囲だけです。
式が一次関数でも、現実の問題では直線全体を描かず、意味のある範囲だけを扱います。
数式上の関数と、問題場面で使う範囲を分けます。
グラフは増減を一目で比較できる
二つの一次関数を同じ座標平面に描けば、どちらがどの範囲で大きいか、交点はどこかを視覚的に確認できます。
連立方程式の解も、二直線の交点として見ることができます。
式・方程式・グラフが別単元ではなく、同じ関係を違う方法で表しています。この対応の確認も重要です。
練習：三方向へ変換する
次の式を使います。
- x=-1,0,1,2の表を作る。
- 座標をグラフへ打つ。
- グラフから傾き2、切片-3を読み戻す。
一方向だけでなく、式→表→グラフ→式まで戻します。
次は「何が同じまま残っているか」を探す
y=2x+1 を式、表、グラフで表しても、「xが1増えるとyが2増える」という関係は同じです。
表現を変えると見えやすいものが変わります。
式では規則、表では具体的な対応、グラフでは全体の形が見えます。
同じ関係を複数の表現へ変換し、必要な表現を選ぶことが、関数問題を解く中心です。
二点が分かれば一次関数の式を作れる
直線が二点(1,3)、(3,7)を通るとします。
傾きは
です。
y=2x+b に(1,3)を代入すると、
なのでb=1。
したがって
です。
二点→傾き→切片→式という変換は、グラフから式を具体的に正確に復元する基本です。
交点は二つの関係を同時に満たす
y=2x+1 と y=-x+4 の交点では、同じx,yが両方の式を満たします。
よりx=1、y=3です。
グラフの交点と連立方程式の解は、同じ条件を図と式で見たものです。
参考資料
- 文部科学省「中学校学習指導要領・解説」
- 文部科学省「高等学校学習指導要領・解説」
