同じ量の水を、背の低いコップと細長いコップへ分けて入れると、水面の高さが違います。水の量が変わったわけではないのに、細い容器では高く見え、太い容器では低く見えます。
「同じ量なら同じ高さになるはず」と思ったことがあれば、量と高さは別のものと考えるよい機会です。今回は形が単純な円柱の容器を想像し、算数と理科をつなげて調べてみましょう。実物のコップに目盛りを付ける前に、紙の上で安全にできる実験です。
高さだけでは、水の量は決まりません
まず、水を入れる部分がまっすぐな円柱になっている、二つの架空の容器を考えます。容器Aの内側の半径は5cm、容器Bは4cmです。底面は円形で、壁はまっすぐに立っています。
円の面積は半径×半径×円周率なので、Aの底面積は25π cm²、Bは16π cm²です。1cmの高さまで水を入れた場合、Aに入る水の体積は25π cm³、Bは16π cm³となります。
同じ1cmの高さなのに、Aのほうがたくさん水を入れられます。なぜなら、底の面積が広いからです。では同じ体積を入れたらどうでしょう。今度はBのほうが水面が高くなるはずです。
500mLを入れると、何cmになる？
1mLは1cm³なので、500mLの水は体積500cm³です。円柱の体積は底面積×高さ。高さを求めたいときは、体積÷底面積にします。
Aでは500÷(25π)≒6.37cm。Bでは500÷(16π)≒9.95cmになります。
| 容器 | 内側の半径 | 底面積 | 500mLの水位 |
|---|---|---|---|
| A：太い円柱 | 5cm | 約78.54cm² | 約6.37cm |
| B：細い円柱 | 4cm | 約50.27cm² | 約9.95cm |
同じ500mLでも、太い容器は約6.37cm、細い容器は約9.95cm。差は約3.58cmです。水が増えたり減ったりしたのではなく、同じ体積をどの面積に広げたかが変わりました。
ただし、この高さになるには容器の内側が正確な円柱で、十分な高さがあり、底が平らであることが必要です。実際のペットボトルは底や肩の部分が曲がっていることも多く、この式をそのまま全体に当てはめることはできません。
太さを半分にすると、水位は2倍になる？
ここが少し意外なところです。「半径を半分にしたら、水位は2倍」と思うかもしれません。ところが円の面積は半径の二乗で変わります。
半径5cmの容器を、半径2.5cmにしたと考えます。底面積は25πから6.25πへ、4分の1になります。同じ500mLを入れるなら、高さは4倍必要です。
つまり、半径が半分なら底面積は4分の1、同じ体積の水の高さは4倍。直径が半分でも同じです。長さと面積と体積は、それぞれ単位も変化の仕方も違います。
「半分」の対象が半径なのか、面積なのか、体積なのかをはっきりさせないと、答えがずれてしまいます。この点は、容器に限らず縮尺のある模型や図形の問題を考えるときにも役立ちます。
容器の形が変わると、式も変わる
今度は、上に行くほど広くなるコップを考えてみてください。水面が下の方にあるときは断面積が小さいので、少し水を入れただけでも高さが上がりやすくなります。上の方へ進むと断面積が広がるため、同じ量を足しても高さの増え方は小さくなります。
円柱なら「体積＝底面積×高さ」という単純な関係がありますが、上へ行くほど断面積が変わる容器では、底面積を一つ決めて掛けるだけでは正確な高さを求められません。
そこで、形の複雑な容器なら、実際に一定量ずつ水を入れて水位を記録するという方法があります。例えば100mLずつ増やし、水面の高さを表にします。実物を使う場合は割れにくい容器と水だけで行い、熱湯や危険な薬品は使わないでください。
量と水位の関係をグラフにすると、円柱の容器では直線的に増え、形が変わる容器では増え方が変化します。ただし「直線的」というのは内側が同じ断面積のまま続く理想条件での話です。
自分で計算を確かめたいときは
方眼紙に横軸を水の体積、縦軸を水位の高さとして、Aの容器について100mL、200mL、300mL、400mL、500mLの点を打ってみましょう。半径5cmの円柱なら、100mL増えるごとに水位は約1.27cm上昇します。点をつなぐと、ほぼ一直線に並ぶはずです。
次に同じ表をBの容器で作ります。100mL増えるごとの水位上昇は約1.99cmです。グラフの傾きが違うことから、水位の増え方そのものが容器の断面積を表していると分かります。計算が合わなかったら、半径ではなく直径を式に入れていないか、cmとmLを混同していないかを確かめてください。
どちらが多く見える？ 見た目と測定の違い
細長いグラスに入った飲み物を見ると、太いグラスよりたくさんあるように感じる人もいるかもしれません。その感覚が必ず起きると断定することはできませんが、見た目の高さが体積の代わりにならないことは計算で確かめられました。
もし二つの飲み物の量を本当に比べたいなら、容器の水位だけでなく、容量の表示や計量器を使います。容器が同じ形でなければ、目測だけで量を決めるのは難しいのです。
理解OSの「具体⇄抽象変換」という考え方を使うなら、実際のコップの高さという具体的な観察から「体積＝底面積×高さ」の関係を取り出し、別の容器へ当てはめてみることになります。公式を覚えるだけでなく、「どんな形なら使えるのか」まで確かめることが、理解を深めます。
同じ500mLでも高さが違う。その理由は、水の不思議な性質ではなく、入れ物の形にあります。次に飲み物の容器を見たら、水位だけでなく、底の広さにも注目してみてください。
本文の容器は形を単純化したモデルです。数値はπを用いて計算し、小数第2位に丸めました。
操作して確かめる
記事の内容を自分で動かして試すには、円柱の水位計算を使えます。
関連するOS・記憶学
水の量と水面の高さを図や式で往復すると、容器の形が変わったときも考え直せます。この見方を別の場面にも広げたいときは、理解OS 第3章「具体⇄抽象変換」を読んでみてください。
