高校数学のデータ分析は、公式をばらばらに覚えると混乱します。中心にあるのは、中心を見る→散らばりを見る→二つの変量の関係を見るという役割の違いです。このページでは平均・分散・標準偏差・四分位範囲・相関係数を一枚の地図として整理し、詳しい計算はそれぞれの主題へ分けます。
まず一覧：何を知りたいときの公式か
| 知りたいこと | 主な指標 | 基本の形 |
|---|---|---|
| データの中心 | 平均 | x=x1+·s+xnn |
| 平均からの散らばり | 分散 | s2=1nΣ (xi-x)2 |
| 元の単位での散らばり | 標準偏差 | s=√(s2) |
| 中央50％の幅 | 四分位範囲 | IQR=Q3-Q1 |
| 二変量の直線的な関連 | 相関係数 | -1から1の範囲で読む |
公式名から選ぶのではなく、最初に「何を知りたいのか」を決めます。
平均は中心を見る
データ 4,5,6 の平均は、
です。
0,5,10 も平均は5です。つまり、平均が同じでもデータの広がり方まで同じとは限りません。
平均は全体を一つの代表値で見るのに便利ですが、散らばりまで説明する指標ではありません。
分散と標準偏差は散らばりを見る
分散は、各データが平均からどれくらい離れているかをまとめる指標です。標準偏差は、その分散の平方根を取ったものです。
ここでは「分散・標準偏差＝平均の周りの散らばりを見る」と役割を固定します。平均との差をなぜ2乗するのか、実際に平方偏差をどう計算するのかは、分散の求め方を主題にしたページで詳しく扱う範囲です。
この切り分けをしておくと、公式一覧のページが計算手順の重複になりません。
四分位範囲は中央50％を見る
四分位範囲は、
で表します。
並べたデータの中央50％がどれくらいの幅に収まっているかを見る量です。箱ひげ図では、箱の長さに対応します。
分散・標準偏差と四分位範囲はどちらも散らばりに関係しますが、見ているものは同じではありません。
相関係数は二つの変量の関係を見る
一つの変量の散らばりではなく、xとyがどのように一緒に動くかを見るのが相関係数です。
値は-1から1の範囲で読み、正なら右上がり、負なら右下がりの直線的傾向を表します。
詳しい計算や、相関からどこまで言えるかという判断は、相関係数を主題にしたページで扱います。この一覧では、一変量の散らばりと二変量の関連を混ぜないことを優先します。
例題：問いから使う指標を選ぶ
次の問いなら何を見るか考えます。
- 「クラスの点数の中心はどのくらい？」→ 平均や中央値
- 「平均の周りにどれくらい散らばる？」→ 分散・標準偏差
- 「中央の半数はどの範囲にいる？」→ 四分位範囲
- 「勉強時間と得点は一緒に増える傾向がある？」→ 散布図・相関係数
このように、問い→指標→必要なら計算の順で選びます。
平均が同じ二つのデータをどう比べるか
先ほどの 4,5,6 と 0,5,10 は、どちらも平均5です。
ここで「平均が同じから同じ集団」とは言えません。後者の方が中心から離れた値を含んでいます。
この先、散らばりを数値で比較したいなら分散・標準偏差を使います。公式一覧の役割は、次にどの道具へ進むかを判断できることです。
標準偏差が小さいことと平均が小さいことは別
平均100・標準偏差2の集団と、平均10・標準偏差5の集団を考えます。
前者は中心の値自体は大きい一方、平均の周りには比較的集まっています。後者は平均は小さくても、散らばりは大きいと読めます。
「中心の大きさ」と「散らばりの大きさ」を別々に見ることが必要です。
グラフがあるなら計算前に読む
箱ひげ図なら中央値や四分位範囲、散布図なら二変量の傾向など、必要な情報がすでに表現されていることがあります。
公式を知っているからといって、毎回すべてを計算する必要はありません。
先にグラフ・表・単位を読み、設問が何を求めているかを確認してから必要な指標だけ使います。
公式には使える対象がある
平均は数値データの代表値ですが、カテゴリ名そのものを足して平均することはできません。
また、外れ値があると平均と中央値の見え方が変わる場合があります。指標は「計算できるか」だけでなく、「その問いに合っているか」で選びます。
同じ「散らばり」でも何を見たいかで選ぶ
標準偏差は平均を基準にデータ全体の散らばりを見るのに向き、四分位範囲は並べたデータの中央50％の広がりを見るのに向きます。どちらが常に優れているという関係ではありません。
外れ値を含む資料、箱ひげ図で比較する資料、平均と標準偏差が与えられる資料など、問題が示す情報によって使いやすい指標は変わります。「散らばり」という言葉だけで一つの公式へ飛ばないことが重要です。
次は役割の地図を白紙から作る
白紙に「中心」「散らばり」「二変量」と三つの箱を書き、平均、分散・標準偏差、四分位範囲、相関係数を配置してください。
数値や資料が変わっても、どの問いにどの指標を使うかという地図は残ります。詳しい分散計算や相関計算が必要になったら、それぞれの主題へ進みます。
参考資料
- 文部科学省「高等学校学習指導要領・解説」
- 文部科学省「高等学校学習指導要領 情報科関係資料」
