同じ面積の花壇でも柵の長さが変わる？ 長方形を並べて確かめる

学校の花壇を作るとします。「広さが24平方メートルなら、どんな形でも柵は同じ長さで済むでしょうか」。面積が同じなのだから、必要な柵も同じだと思うかもしれません。でも、面積と周りの長さは別の量です。簡単な図形を実際に計算すると、花壇の形を変えるだけで必要な材料が変わることが分かります。

ここで使う数字は、仕組みを考えるための仮定です。実際に校庭へ花壇を設置するときは、学校の許可、安全性、通路、土の状態など、数学以外の条件も必要になります。

面積24平方メートルの長方形を作る

まず、たて4メートル、横6メートルの花壇を考えます。長方形の面積は「たて×横」なので、4×6＝24平方メートルです。四辺をすべて柵で囲むと、必要な長さは「4＋6＋4＋6＝20メートル」です。ここで20メートルと24平方メートルの単位が違うことに注目してください。周りの長さは長さの単位、面積は広さの単位で表します。数字をそのまま足し引きして比較できるものではありません。

次は、たて3メートル、横8メートルにします。面積は3×8＝24平方メートルで同じです。しかし周りの長さは3＋8＋3＋8＝22メートルになりました。広さは変わらず、柵が2メートル増えています。

表のどの行も、かけ算の答えは24です。一方、周りの長さは大きく違います。極端に細長い花壇ほど、同じ広さでも囲む距離が長くなることが見えてきます。

なぜ細長い形は柵が長くなるの？

長方形の面積を24に固定すると、たてを長くした分、横を短くしなければなりません。例えば横24メートル・たて1メートルを、横12メートル・たて2メートルに変えると、長い辺は12メートル縮み、短い辺は1メートル伸びます。四辺の合計では、長い辺が二つある影響が大きく、周りの長さが50メートルから28メートルまで減ります。

ただし、「短い方を伸ばせば必ず柵が減る」と丸暗記するのも危険です。たてと横を入れ替えた形は、同じ長方形を回しただけなので、周りの長さは変わりません。重要なのは、二つの辺の長さがどれくらい離れているかです。

正方形に近づけたらどうなる？

面積24平方メートルの正方形は、一辺が√24メートルです。およそ4.90メートルなので、周りの長さは約19.60メートルです。4m×6mの長方形で必要だった20mより少し短くなります。

この比較では、長方形のうち正方形がもっとも周りの長さを短くできます。ただし「すべての形の中で正方形が最短」という意味ではありません。円なども認めるなら、同じ面積を囲む周囲の長さの問題は別の答えになります。また、実際の柵には門や柱の取り付け間隔があり、端数を含めて必要な材料を買えるとは限りません。

まずは、長方形に限定することを明示して考えるのが数学の大事な習慣です。条件を言わずに「この形が一番」と決めないようにします。

紙の上で六つの花壇を作ろう

方眼紙で1マスを1平方メートルだと考え、24マスを使った長方形をいくつか描いてみてください。1×24、2×12、3×8、4×6などです。マスの数は常に24になるはずです。次に外側の辺だけを数えます。内側に接したマスとマスの境界は柵にならないので数えません。

例えば2×12なら、外側は12＋12＋2＋2＝28マス分です。3×8なら8＋8＋3＋3＝22マス分です。図を描いて辺を数えてから計算式と照らし合わせると、面積と周の違いを実感できます。

方眼紙では、たて・横の長さが整数になる形だけを扱います。そのため表にない5×4.8のような長方形は描きにくいものの、実際の数学では考えられます。「整数に限定した最小」と「小数も認めた最小」が同じとは限らないことにも気づけます。

柵の価格を付けると判断は変わる？

柵が1メートルあたり800円で、施工費や柱代は別に考えるとします。4×6メートルなら20m×800円＝16,000円です。3×8メートルなら22m×800円＝17,600円。差は1,600円になります。花壇の広さが同じなのに、境界に必要な材料費が違うという結果です。

しかし、1×24メートルの花壇が実際に不適切かは費用だけでは決まりません。幅が狭い場所に沿って作る必要があるなら、細長い形が向く場合もあります。また、花壇の一辺を既存の壁に沿わせ、そこには柵が不要とするなら、計算する辺の数が変わります。費用の比較には「四辺すべてを同じ材料で囲む」という前提がありました。

同じ面積でも使いやすさは違う

花壇の中央まで手を伸ばせるか、通路が確保できるか、植物の種類によって日当たりを調整できるかなど、使いやすさは形に左右されます。材料費だけで正方形に近い形を選ぶと、授業で観察するときに歩く場所が足りなくなることも考えられます。

ここから、問題を二つに分けられます。「同じ広さを、少ない柵で囲みたい」という数学の問題と、「みんなが使える花壇にしたい」という設計の問題です。前者の答えが後者の最適な答えになるとは限りません。

面積を変えずに、別の条件を一つ試す

次は条件を変えて考えましょう。たて4m・横6mの花壇の一辺6mが学校の塀に接していて、その辺には柵を置かない場合です。新しい柵の長さは4＋6＋4＝14mです。反対に4mの辺が塀に接している場合は6＋4＋6＝16mになります。面積も長方形そのものも同じなのに、既存の塀の使い方で必要な柵の長さが変わりました。

これまで「四辺とも柵を付ける」という条件を意識していなかった人は、答えが変わることに驚くかもしれません。計算式は間違っていなくても、条件が違えば答えも変わります。

自分で解ける練習問題

面積36平方メートルの長方形を考えます。たて3m・横12mのとき、周りの長さは30mです。たて4m・横9mなら26m、たて6m・横6mなら24mです。この三つについて、柵が1mあたり500円ならいくらかかるか計算してみてください。

答えは順に15,000円、13,000円、12,000円です。さらに、どの花壇が使いやすいかは、この答えだけでは決められない理由を一つ書いてみましょう。「何を最小にする問題か」を先に決めてから、面積・長さ・費用を区別して考える力が試せます。

今日のまとめ

同じ面積の長方形でも、周りの長さは同じではありません。面積は広さ、周りの長さは境界の距離を表します。計算で柵を節約する形を選べても、使いやすさや設置条件まで自動的に決まるわけではありません。一つの数字で答えを出す前に、何を比べているかと、どの条件を固定したかを確かめることが大切です。