単位分数は、分子が1の分数です。たとえば 1/2, 1/3, 1/5 などです。中学受験では、単位分数をただ定義として覚えるだけでなく、ある分数をいくつかの単位分数の和に分けたり、条件に合う分け方を探したりする問題が出ます。
まず1/nは「1つ分」
1/5 は、1を5等分したうちの1つ分です。
3/5 なら、その1つ分が3個あるので、
です。
分数を「上の数÷下の数」という計算だけでなく、同じ大きさの単位分数を何個集めたかとして見ます。
単位分数の和へ分ける
たとえば
を異なる単位分数の和にできるか考えます。
なので、
です。
答えを見て覚えるより、通分して本当に元へ戻るか確かめます。
分母が大きいほど単位分数は小さい
1/3 と 1/5 なら、同じ1をより細かく5等分した 1/5 の方が小さくなります。
分母の数字だけを見て「5の方が大きいから1/5も大きい」としないようにします。
単位分数では、分母が大きいほど一つ分は小さくなります。
逆数と混同しない
単位分数 1/n と、ある数の逆数は関係しますが、同じ説明ではありません。
たとえば3の逆数は1/3で、これは単位分数でもあります。
しかし「単位分数とは逆数のこと」と覚えると、分数の構成や分割の意味が見えません。
ここでは「1をn等分した一つ分」を中心にします。
問題1：3/4はいくつの1/4か
なので3個です。
これは単位分数を同じものだけ使った分解です。
問題2：3/4を異なる単位分数二つに分ける
答えの一つは
です。
「異なる」という条件があるので、1/4を3個という答えは条件に合いません。
問題3：1/2を二つの異なる単位分数に分ける
したがって、
です。
通分して分子を足すことで検算できます。
どうやって候補を探すか
のような問題で、いきなりa,bを当て続けると漏れます。
まず1/aが1/2より小さくなる必要があるので、a>2です。
a=3なら、
なのでb=6と分かります。
一つ目を決め、残りを引き算で求める方法です。
1/nから残りを引く方法
ある分数を単位分数二つへ分けたいとき、
- 元の分数より小さい単位分数を一つ選ぶ
- 元の分数から引く
- 残りが単位分数になるか確認する
と進めます。
たとえば2/5から1/3を引くと、
したがって、
です。
よくある誤り：分母だけ足す
ではありません。
通分すると、
です。
単位分数が並ぶと分母の数字に注目しすぎますが、分数の足し算のルールは変わりません。
条件付き問題は「異なる」「個数」「範囲」を読む
中学受験では、
- 異なる単位分数
- 3個の単位分数
- 分母が○以下
などの条件が付きます。
元の分数を作れれば何でも正解ではありません。
答えを出したら、元の値へ戻るかと、条件を満たすかの二段階で確認します。
分数の大小を使って候補を絞る
元が1/2なら、足す各単位分数は1/2より小さいものを考える必要があります。
さらに二つの正の単位分数の和なら、一つ目があまりに小さいと、残りが単位分数にならない場合があります。
大小関係を使うと、候補を闇雲に試すより効率よく探せます。
練習：2/3を二つの単位分数へ
まず大きめの1/2を選びます。
したがって
です。
次に別の分け方があるか、条件を変えて探してみます。
単位分数は分数の「部品」として使える
分数を単位分数へ分解すると、一つの量を異なる大きさの部品で組み立てる見方ができます。
これは単なる特殊な受験テクニックではなく、分数の大きさ・通分・引き算・方程式的な考えをまとめて使う問題です。
次は「一つ選ぶ→残りを計算→条件確認」の順にする
単位分数分解の問題では、
- 候補の単位分数を一つ選ぶ
- 元の分数から引く
- 残りが1/nの形か確認する
- 異なる等の条件を確認する
と進めます。
当てずっぽうで分母を並べるのではなく、残りを計算して次の候補を決めると、初めて見る分数でも探索できます。
参考資料
- 文部科学省「小学校学習指導要領・解説」
