図形の性質を学ぶときは、定理の文章を一つずつ暗記するより、図を少し動かしたり、向きを変えたりしても残る関係は何かを見ると整理しやすくなります。高校数学で扱う「図形の性質」は、三角形・円・直線などを、長さ・角度・比・位置関係へ翻訳して考える単元です。
図の見た目と、数学的な条件を分ける
ノートに描いた三角形が細長いからといって、それが問題の本質とは限りません。たとえば「二等辺三角形」という条件があるなら重要なのは、二辺の長さが等しいことです。図が少し傾いていても、条件が変わらなければ使える性質は残ります。
つまずきやすいのは、見た目で「たぶん直角」「ほぼ同じ長さ」と判断することです。作図が正確に見えても、問題文や証明で与えられていない条件を勝手に加えることはできません。
図を見たら最初に、等しい辺、等しい角、平行、垂直、円周上の点など、文章で保証された条件だけに印を付けます。
一つの図を「角」「長さ」「比」の三つに翻訳する
図形問題が難しく見えるときは、図をそのまま眺め続けず、情報を種類別に分けます。
- 角度について分かること
- 長さについて分かること
- 比について分かること
- 平行・垂直・円周上など位置について分かること
たとえば三角形ABCでAB=ACなら、二等辺三角形なので底角∠Bと∠Cが等しいという性質につながります。さらに別の点や補助線があれば、合同や相似の条件へ結び付く場合があります。
重要なのは「この定理を使う」と先に決めるのではなく、今ある条件が、どの種類の関係へ変換できるかを見ることです。
補助線は「思いつき」ではなく、欲しい関係を作るために引く
補助線が必要な問題で「どうしてその線を思いつくの？」と感じる人は多いです。実際には、目的から逆算できます。
たとえば合同な三角形を作りたいなら、共通の辺を作れる線や、等しい角を作れる線を考えます。相似を使いたいなら、平行線によって同位角・錯角を作る方法があります。円があるなら、中心と円周上の点を結び、半径が等しいことを使える場合があります。
例として、円Oの円周上にA、Bがあるなら OA=OB です。中心から二点へ線を引くと二等辺三角形が現れ、角度の情報へ変換できます。補助線の役割は「線を増やすこと」ではなく、使いたい性質が現れる図へ変換することです。
性質と逆は同じではない
「AならB」が成り立っても、「BならA」が自動的に成り立つとは限りません。図形で混同しやすいポイントです。
たとえば、二等辺三角形なら二つの底角は等しい、という性質があります。一方、「二つの角が等しい三角形なら、その向かい合う辺が等しい」という逆方向も成り立ちますが、これは別に確かめる必要があります。
他の定理では逆が成り立たないこともあります。だから、公式の文章を読むときは「条件」と「結論」を分け、矢印の向きを意識します。間違いは、結論だけ見て条件まで勝手に戻してしまうところから生じます。
ミニ練習：図を三回描き直す
次の条件を考えます。
「三角形ABCで AB=AC。辺BC上に点Dを取る。」
同じ条件のまま、細長い三角形、横に広い三角形、左右に傾いた三角形を三つ描いてください。どの図でも確実に言えることと、見た目によって変わることを分けます。
確実なのはAB=ACであり、それに基づく底角の関係です。Dの位置について追加条件がなければ、BD=DCとは言えません。図の中央付近にDを描いたからといって中点だと決めるのは誤りです。
この練習は、「図から読み取る」のではなく「条件から読み取る」ためのものです。
証明で止まったら、ゴールを小さく言い換える
証明問題では「何を証明すればよいか」をそのまま眺めるより、小さな条件へ分解します。たとえば「二つの三角形が合同」を示したいなら、三辺、二辺とその間の角、一辺とその両端の角など、合同条件のどれを作れそうか見ます。
「この角が等しいことを言えれば進む」「この二辺が共通だと使える」のように、次の一手を小さくします。証明全文を一気に思いつく必要はありません。
ただし、図形の性質はすべて同じ方法で解けるわけではありません。円、三角形、平行線、比では使う道具が違います。境界は、共通するのは情報の変換方法であり、定理そのものまで共通ではないことです。
次にやること：一問を「条件→変換→目的」で記録する
問題を一問解いたら、解答を写す代わりに三行だけ残してください。
- 条件：何が与えられたか
- 変換：どの性質で何が言えたか
- 目的：それがゴールのどこにつながったか
別の図形や別の配置に変わっても、この三行の見方は使えます。図形の性質は、定理カードを大量に覚える単元ではなく、条件を別の表現へ変換し、必要な関係を作る単元として学ぶと、初見問題でも手が止まりにくくなります。
性質を使う順序を「逆算」で決める
証明問題で補助線が思いつかないときは、最初の条件から前向きに考えるだけでなく、示したい結論から逆算します。たとえば「二つの角が等しい」を示したいなら、合同な三角形の対応角として示せないか、平行線の錯角・同位角を使えないか、と候補を出します。
次に、その候補を使うために何が足りないかを確認します。合同なら辺や角の一致が必要、平行線なら平行を示す条件が必要です。欲しい関係を作るために補助線を引くのであって、「なんとなく線を一本増やす」のではありません。
この逆算は、図形が変わっても使えます。ゴール→使えそうな性質→必要な条件→与えられた条件、の順にたどると、暗記した定理を選ぶ問題から、条件を組み立てる問題へ見方が変わります。
参考資料
- 文部科学省「小学校・中学校・高等学校学習指導要領・解説 数学関係資料」
