二等辺三角形の定義は「二つの辺の長さが等しい三角形」です。「底角が等しい」は定義ではなく、定義から証明できる性質です。定義と性質を分けると、証明問題で何を前提にしてよいかが分かります。
定義は『その図形を何と呼ぶか』を決める条件
二つの辺ABとACが等しい三角形ABCを二等辺三角形と呼びます。等しい二辺にはさまれた頂点Aを頂角、その反対側の辺BCを底辺、BとCの角を底角と呼びます。
ここで「底角が等しい」はまだ使っていません。定義だけで二等辺三角形だと判断するなら、二辺が等しいことを確認します。
定義は証明の出発点なので、後から証明する性質を最初から定義に混ぜないことが重要です。
なぜ底角が等しくなるのか
頂点Aから底辺BCの中点Mへ線を引く考え方を使います。AB=AC、BM=CM、AMは共通なので、三角形ABMとACMは三辺がそれぞれ等しく合同になります。
合同な図形の対応する角は等しいため、角Bと角Cが等しいと分かります。
つまり「二辺が等しい」という定義から、合同を使って「底角が等しい」という性質を導けます。
逆も成り立つ：二つの角が等しければ二等辺三角形
三角形で二つの角が等しければ、その向かい合う二辺も等しくなります。これは「二等辺三角形の性質」の逆にあたります。
問題では、「二辺が等しい→底角が等しい」を使うのか、「二角が等しい→二辺が等しい」を使うのかを区別します。
矢印の向きを書いておくと、必要な根拠を取り違えにくくなります。
よくある誤り：見た目で二等辺三角形と決める
図が左右対称に描かれていても、問題文や記号にAB=ACなどの条件がなければ、見た目だけで等しいとは言えません。
証明問題の図は、関係を考えやすくするための図であり、定規で測って根拠にするものではありません。
「図では同じに見える」から「条件として与えられている」へ意識を移します。
練習：定義・性質・逆を仕分ける
次の文を三つに分けます。
- 二つの辺が等しい三角形を二等辺三角形という → 定義
- 二等辺三角形の底角は等しい → 性質
- 二つの角が等しい三角形では、その向かい合う二辺が等しい → 性質の逆
この仕分けをすると、「なぜ使えるのか」を答案で説明しやすくなります。
証明では結論だけでなく、どの条件からどの性質を使ったかを書くことが大切です。
『定義』と『判定条件』はいつも同じとは限らない
図形によっては、定義とは別に「この条件を満たせばその図形だと分かる」という判定条件があります。
二等辺三角形でも、定義は二辺が等しいことですが、二角が等しいことから二等辺三角形と判断できます。定義と判定方法を区別すると、他の図形の学習にもつながります。
たとえば平行四辺形でも、定義と複数の判定条件を分けて学びます。
次は証明文の横に『定義／性質／逆』とメモする
証明問題を解いたあと、使った根拠の横へ「定義」「性質」「逆」「合同条件」のどれかを書いてみてください。
同じ二等辺三角形でも、問題によって出発点が違います。根拠の種類を自分でラベル付けできると、図形の証明を丸暗記ではなく論理のつながりとして扱えます。
証明では「定義から使える情報」を最初に取り出す
二等辺三角形ABCでAB=ACと書かれていたら、まず「二辺が等しい」という定義の条件を使えます。そこから底角∠Bと∠Cが等しいことを性質として導きます。逆に、∠B=∠Cが与えられた問題では、「二角が等しい三角形では向かい合う二辺が等しい」という逆向きの定理を使ってAB=ACを示します。
この二つを混ぜると、「二等辺三角形だから底角が等しい」と「底角が等しいから二等辺三角形」が同じ根拠に見えてしまいます。証明では矢印の向きを意識してください。
練習：何が与えられ、何を示す？
「△ABCでAB=AC。頂角Aの二等分線とBCの交点をDとする。BD=CDを示せ」という問題なら、AB=ACは定義から得られる条件、∠BAD=∠CADは角の二等分線から得られる条件、ADは共通です。この三つから二つの三角形の合同を示し、対応する辺としてBD=CDへ進めます。
図を見て「左右対称だから同じ」で終わらせず、どの条件がどの性質を支えているかを言葉にすることが証明です。
正三角形との包含関係も確認する
正三角形は三辺がすべて等しいので、「二辺が等しい」という条件も満たします。したがって、定義の取り方では正三角形も二等辺三角形の一種として扱えます。
図形の分類では「名前が違うから別物」と考えず、条件の強い図形が条件の弱い図形に含まれる場合があることを意識すると、四角形の分類にも考え方を移せます。
「二等辺三角形であること」を途中で作る問題もある
問題文に最初から「二等辺三角形」と書かれていないこともあります。二辺が等しいことを別の条件から示し、その結果として二等辺三角形の性質を使う問題です。
たとえば円の中心Oから円周上の二点A、Bへ半径OA、OBを引けば、どちらも同じ円の半径なのでOA=OBです。したがって△OABは二等辺三角形になり、底角が等しいと分かります。このように、定義を使って図形を認定し、その後に性質を使うという二段階があります。
「底角が等しい」という性質だけを覚えていると、この最初の認定が見えません。図形問題では、与えられた長さの等しさに印を付け、「この二辺が等しいなら何という図形になるか」を先に考えてみてください。
